二分查找

二分查找是一种针对有序数据集合的查找算法。

假设有1000条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于19元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回null。

最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这1000个订单，直到找到金额等于19元的订单为止。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这1000条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？

我们假设只有10个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。

利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。其中，low和high表示待查找区间的下标，mid表示待查找区间的中间元素下标。

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

我们假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

这是一个等比数列，其中$n/2^k$=1时，k的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过$n/2^k$=1，我们可以求得$k=\log_2 n$，所以时间复杂度就是O(logn)。

O(logn)是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级O(1)的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为logn是一个非常“恐怖”的数量级，即便n非常非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，这个数很大了吧？大约是42亿。也就是说，如果我们在42亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较32次。

用大O标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1)有可能表示的是一个非常大的常量值，比如O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有O(logn)的算法执行效率高。

二分查找递归和非递归实现

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

func BinarySearch(arr []int, target int) int {
	low := 0
	high := len(arr) - 1

	for low <= high {
		mid := (low + high) / 2
		if arr[mid] == target {
			return mid
		} else if arr[mid] > target {
			high = mid - 1
		} else if arr[mid] < target {
			low = mid + 1
		}
	}
	return -1
}

实际上，mid=(low+high)/2这种写法是有问题的。因为如果low和high比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以2操作转化成位运算low+((high-low)»1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

func BinarySearchRecursive(arr []int, target int) int {
    if len(arr) == 0 {
        return -1
    }
    return binarySearch(arr, 0, len(arr), target)
}

func binarySearch(arr []int, low, high, target int) int {
	// 查找到最后一个元素，还是没有找到 target ，此时 low = high = mid , 
	// 然后继续迭代，然后要么就是[mid+1,high]，要么就是[low,high-1]，
	// 此时应该退出迭代了，因为数组中已经没有满足条件的值了。
	// 故退出条件是 low > high
	if low > high {
		return -1
	}
	mid := low + ((high - low) >> 1)
	if arr[mid] == target {
		return mid
	} else if arr[mid] < target {
		return binarySearch(arr, mid+1, high, target)
	} else {
		return binarySearch(arr, low, mid-1, target)
	}
}

二分查找的局限性

二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。

其次，二分查找针对的是有序数据。数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。排序的时间复杂度最低是O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

再次，数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为10的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。 比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有1GB大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要1GB的连续内存空间。

练习

如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位。

二分查找变形问题

默认有序数据集是从小到大排列为前提。

查找第一个值等于给定值的元素

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。

如果用之前那种简单的二分查找，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。

尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。

a[mid]跟要查找的value的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于a[mid]>value的情况，我们需要更新high= mid-1；对于a[mid]<value的情况，我们需要更新low=mid+1。这两点都很好理解。那当a[mid]=value的时候应该如何处理呢？

如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。

func BinarySearchFirst(arr []int, target int) int {
	low := 0
	high := len(arr) - 1
	for low <= high {
		mid := low + ((high - low) >> 1)
		if arr[mid] > target {
			high = mid - 1
		} else if arr[mid] < target {
			low = mid + 1
		} else {
			// 如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
			if mid == 0 || arr[mid-1] != target {
				return mid
			} else {
				// 如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid-1]也等于value，那说明此时的a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。
				high = mid - 1
			}
		}
	}
	return -1
}

查找最后一个值等于给定值的元素

func BinarySearchLast(arr []int, target int) int {
	low := 0
	high := len(arr) - 1
	for low <= high {
		mid := low + ((high - low) >> 1)
		if arr[mid] > target {
			high = mid - 1
		} else if arr[mid] < target {
			low = mid + 1
		} else {
			// 最后一个或者后一个
			if mid == len(arr)-1 || arr[mid+1] != target {
				return mid
			} else {
				// 肯定是在后半区
				low = mid + 1
			}
		}
	}
	return -1
}

查找第一个大于等于给定值的元素

func BinarySearchFirstMore(arr []int, target int) int {
	low := 0
	high := len(arr) - 1
	for low <= high {
		mid := low + ((high - low) >> 1)
		if arr[mid] >= target {
			if mid == 0 || arr[mid-1] < target {
				return mid
			} else {
				high = mid - 1
			}
		} else {
			low = mid + 1
		}
	}
	return -1
}

查找最后一个小于等于给定值的元素

func BinarySearchLastLess(arr []int, target int) int {
	low := 0
	high := len(arr) - 1
	for low <= high {
		mid := low + ((high - low) >> 1)
		if arr[mid] <= target {
			if mid == len(arr)-1 || arr[mid+1] > target {
				return mid
			} else {
				low = mid + 1
			}
		} else {
			high = mid - 1
		}
	}
	return -1
}